专题十一 概率与统计 第三十二讲 统计初步 2019年 1 (2019全国II理5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分､1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是 A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 2(2019全国II理13)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________. 3(2019全国III理17)为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A､B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每组小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图: 记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值; (2)分别估计甲､乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 4(2019浙江7)设0<a<1,则随机变量X的分布列是 则当a在(0,1)内增大时 A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大 5.(2019江苏5)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 . 2010-2018年 一､选择题 1.(2018全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 2.(2017新课标Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 3.(2017江苏)某工厂生产甲､乙､丙､丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 4.(2016年山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是,样本数据分组为,,,,.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 A.56 B.60 C.120 D.140 5.(2016年全国III)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图｡图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃｡下面叙述不正确的是 A.各月的平均最低气温都在0℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均气温高于20℃的月份有5个 6.(2015陕西)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 A.167 B.137 C.123 D.93 7.(2015新课标2)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论不正确的是. A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 8.(2015安徽)若样本数据,,,的标准差为,则数据,,,的标准差为 A. B. C. D. 9.(2014广东)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为 A.50 B.40 C.25 D.20 10.(2014广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10 11.(2014湖南)对一个容器为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样､系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为,则 A. B. C. D. 12.(2013新课标1)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学､初中､高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 13.(2013福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 A.588 B.480 C.450 D.120 14.(2013山东)将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以表示: 则7个剩余分数的方差为 A. B. C.36 D. 15.(2012陕西)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数､众数､极差分别是 A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 D.45,47,53 二､填空题 16.(2018江苏)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 17.(2015湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示. 若将运动员按成绩由好到差编为号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 . 18.(2014江苏)为了了解一片经济的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部周长小于100cm. 19.(2014湖北)甲､乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为 件. 20.(2014天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级､二年级､三年级､四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生. 21.(2013辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 22.(2012江苏)某学校高一､高二､高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 名学生. 23.(2012浙江)某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为____________. 24.(2012山东)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为,,,,,.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为____. 25.(2010北京)从某小学随机抽取100名同学,将他们身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知a= ｡若要从身高在 [120,130﹚,[130,140﹚,[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 ｡ 三､解答题 26.(2018全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过 的工人数填入下面的列联表: 超过 不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:, 27.海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下: (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关: 箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01) 附: 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 28.(2016年四川)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨)､一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (I)求直方图中a的值; (II)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由; (III)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由. 29.(2015广东)某工厂36名工人年龄数据如下表 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 45 49 36 39 (1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的均值和方差; (3)36名工人中年龄在和之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到)? 30. (2014新课标1) 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表: 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8 (I)在下表中作出这些数据的频率分布直方图: (II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定? 31.(2013年新课标1)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为药,药)的疗效,随机地选取位患者服用药,位患者服用药,这位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:),试验的观测结果如下: 服用药的位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用药的位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好? 32.(2013广东)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个) 5 10 20 15 (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个? (3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在和中各有1个的概率. 33.(2012广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]｡ (1)求图中的值; (2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分; (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数｡ 分数段 x:y 1:1 2:1 3:4 4:5 34.(2010陕西)为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查,测得身高情况的统计图如下: (Ⅰ)估计该校男生的人数; (Ⅱ)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率; (Ⅲ)从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm之间的概率. 专题十一 概率与统计 第三十二讲 统计初步 答案部分 2019年 1.A 解析:根据题意,从9个原始评分中去掉1个最高分､1个最低分,得到7个有效评分,7个有效评分与9个原始评分相比,最中间的一个数不变,即中位数不变.故选A. 2.0.98 解析 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为: . 3.解析(1)由已知得,故. b=1–0.05–0.15–0.70=0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00. 4. 解析 , 因为,所以先减小后增大. 故选D. 5. 解析 一组数据6,7,8,8,9,10的平均数为, 所以该组数据的方差为 . 2010-2018年 1.A【解析】通解 设建设前经济收入为,则建设后经济收入为,则由饼图可得建设前种植收入为,其他收入为,养殖收入为.建设后种植收入为,其他收入为,养殖收入为,养殖收入与第三产业收入的总和为,所以新农村建设后,种植收入减少是错误的.故选A. 优解 因为,所以新农村建设后,种植收入增加,而不是减少,所以A是错误的.故选A. 2.A【解析】由折线图,7月份后月接待游客量减少,A错误;选A. 3.18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件. 4.D【解析】由频率分布直方图可知,这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140.故选D. 5.D【解析】由图可知0℃在虚线框内,所以各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10℃,基本相同,C正确;由图可知平均最高气温高于20℃的月份不是5个,D不正确,故选D. 6.C【解析】由扇形统计图可得,该校女教师人数为. 7.D【解析】根据柱形图易得选项A,B,C正确,2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份负相关,选项D错误. 8.C【解析】设样本数据,,,的标准差为,则,即方差 ,而数据,,,的方差, 所以其标准差为.故选C. 9.C【解析】由,可得分段的间隔为25.故选C. 10.A【解析】所抽人数为,近视人数分别为小学生,初中生,高中生,∴抽取的高中生近视人数为.选A. 11.D【解析】根据抽样方法的概念可知,简单随机抽样､系统抽样和分层抽样三种抽样方法,每个个体被抽到的概率都是,故,故选D. 12.C【解析】因该地区小学､初中､高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合理的抽样方法是按学段分层抽样,故选C. 13.B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和,由图知道,故分数在60以上的人数为600×0.8=480人. 14.B【解析】由图可知去掉的两个数是87,99,所以 ,. . 15.A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数,即众数是45,极差为68-12=56.所以选A. 16.90【解析】由茎叶图可得分数的平均数为. 17.4【解析】由茎叶图可知,在区间的人数为,再由系统抽样的性质可知人数为人. 18.24【解析】由频率分布直方图可得树木底部周长小于100cm的频率是(0.025 +0.015)×10=0.4,又样本容量是60,所以频数是0.4×60=24. 19.1800【解析】分层抽样中各层的抽样比相同,样本中甲设备生产的有50件,则乙设备生产的有30件,在4800件产品中,甲､乙设备生产的产品总数比为5:3,所以乙设备生产的产品总数为1800件. 20.60【解析】应从一年级抽取名. 21.10【解析】设五个班级的数据分别为｡由平均数方差的公式得,,显然各个括号为整数.设分别为,, 则. 设= =, 因为数据互不相同,分析的构成,得恒成立, 因此判别式,得,所以,即｡ 22.15【解析】由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的,利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取50×=15名学生｡ 23.160【解析】总体中男生与女生的比例为,样本中男生人数为. 24.9【解析】最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为11÷0.22=50,最右面矩形面积为0.18×1=0.18,50×0.18=9. 25.0.030 3【解析】因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1,所以有 ,解得. 由直方图可知,三组内的学生总数为, 其中身高在内的人数为10,所以从身高在内的学生中抽取 的人数应为. 26.【解析】(1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下: (i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. (ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. (iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高. (iv)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. (2)由茎叶图知. 列联表如下: 超过 不超过 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 (3)由于,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 27.【解析】(1)记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”. 由题意知. 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 故的估计值为. 新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为 故的估计值为. 因此,事件的概率估计值为. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 由于,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为 , 箱产量低于55kg的直方图面积为 , 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 . 28.【解析】(I)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1 ∵频率=(频率/组距)*组距 ∴ 得. (II)由图,不低于3吨人数所占百分比为 ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为:(万) (Ⅲ)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为: 即的居民月均用水量小于2.5吨, 同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故 假设月均用水量平均分布,则(吨). 注:本次估计默认组间是平均分布,与实际可能会产生一定误差｡ 29.【解析】(1)由系统抽样可知,36人分成9组,每组4人,其中第一组的工人年龄为44,所以其编号为2,故所有样本数据的编号为,.其数据为:44,40,36,37,44,43,37. (2). 由方差公式,. (3)因为,所以. 所以36名工人中年龄在和之间的人数等于在区间内的人数. 即40,40,41,,39,共23人. 所以36名工人中年龄在和之间的人数所占的百分比为. 30.【解析】(I) (II)质量指标值的样本平均数为 80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08 =100. 质量指标值的样本方差为 =104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104. (III)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. 31.【解析】(1)设A药观测数据的平均数为,B药观测数据的平均数为,又观测结果可得 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0 +3.1+3.2+3.5)=2.3, 由以上计算结果可得>,因此可看出A药的疗效更好 (2)由观测结果可绘制如下茎叶图: A药 B药 6 0. 5 5 6 8 9 8 5 5 2 2 1. 1 2 2 3 4 6 7 8 9 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2. 1 4 5 6 7 5 2 1 0 3. 2 从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2.3上,而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好｡ 32.【解析】(1)由题意知苹果的样本总数,苹果的重量在的频数为20,∴苹果的重量在的频率为; (2)设从重量在的苹果中抽取个,则从重量在的苹果中抽取 个.∵从表格可知的频数分别为5,15. ∴,解得; (3)设这4个苹果中重量在的1个记为,重量在中的3个为,从中任取两个,可能的情况有: (,)(,)(,)(,)(,)(,)共6种;设任取2个,重量在和中各有1个的事件为A,则事件A包含有(,)(,)(,)共3种,所以. 33.【解析】(1) (2)平均分为 (3)数学成绩在内的人数为 人. 数学成绩在外的人数为人. 答:(1)(2)这100名学生语文成绩的平均分为 (3)数学成绩在外的人数为人. 34.【解析】(Ⅰ)样本中男生人数为40,由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400. (Ⅱ)有统计图知,样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人,样本容量为70,所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故有估计该校学生身高在170~180cm之间的概率. (Ⅲ)样本中身高在180~185cm之间的男生有4人,设其编号为①,②,③,④ 样本中身高在185~190cm之间的男生有2人,设其编号为⑤,⑥ 从上述6人中任取2人的树状图为: 故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15,求至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9,因此,所求概率.
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